[Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 2]우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
✔️ 특징
그리디 알고리즘
매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정 반복
한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 바뀌지 않는다.
한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해
수행 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
✔️ 소스 코드 구현 (Python)
1️⃣ 간단한 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)합니다.
성능 분석
총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
따라서 전체 시간 복잡도는 O(V²)이다.
전체 노드가 5,000개 이하라면 해결할 수 있다. 그 이상이면 해결X
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 입력
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보 담기 리스트
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 방문 확인 리스트
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보
for _ in range(m):
# a -> b 가는 비용 c
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중, 가장 최단 거리가 짧은 노드 번호 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드 반복
for i in range(n-1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우, 거리 출력
else:
print(distance[i])
2️⃣ 개선된 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용
성능 분석
힙 자료구조를 이용하면 O(ElogN)
직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
시간 복잡도 O(ElogE) 판단 가능
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 입력
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보 담기 리스트
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보
for _ in range(m):
# a -> b 가는 비용 c
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0,start))
distance[start] = 0
while q:
# 가장 최단 거리가 짧은 모드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우, 거리 출력
else:
print(distance[i])
💡우선순위 큐(Priority Queue)
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
자료구조
추출되는 데이터
스택 (Stack)
가장 나중에 삽입된 데이터
큐 (Queue)
가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)
가장 우선순위가 높은 데이터
💡힙 (Heap)
우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
우선순위 큐 구현 방식
삽입 시간
삭제 시간
리스트
O(1)
O(N)
힙(Heap)
O(logN)
O(logN)
[ 최소 힙 구현 예제 ]
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
플로이드 워셜 알고리즘
모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
# k는 거쳐가는 노드, a 출발 노드, b 도착 노드
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == 1e9:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()
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